Muss die Bürgschaft immer auf den Mieter laufen bzw. die Person, die in die Wohnung einzieht?

Nein, der Bürgschaftsnehmer kann auch eine andere Person sein, beispielsweise ein Elternteil. Diese Person muss dann allerdings auch im Mietvertrag benannt sein, z.B. im Fall einer Vermietung an einen Studenten, ist der Mietvertrag häufig auf ein Elternteil ausgestellt. Ein Abschluss ist nicht möglich, wenn der Bürgschaftsnehmer nicht Teil des Mietvertrags ist.